| Авторы |
Казакова Татьяна Георгиевна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высокопроизводительных вычислительных технологий и систем, Уфимский государственный авиационный технический университет (Россия, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12), tg_kazakova@mail.ru
Саттарова Радмила Рустемовна, бакалавр, Уфимский государственный авиационный технический университет (Россия, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12), zakasatt@mail.ru
|
| Аннотация |
Актуальность и цели. Интегрируемые дискретные уравнения чаще всего рассматривают в рамках численного исследования своих непрерывных аналогов. В то же время непрерывные уравнения получены с помощью предельного перехода от дискретных систем. Во многих отношениях дискретная картина оказывается более исследуемой и фундаментальной нежели дифференциальная. Разностные уравнения, или цепочки, возникают во многих задачах математической физики. Дискретные уравнения часто рассматриваются как преобразования Бэклунда непрерывных и дифференциально-разностных уравнений. Построение конечномерных редукций интегрируемых систем является одним из наиболее эффективных способов получения их частных решений. Целью данной работы является построение новых конечномерных редукций для интегрируемой дискретной цепочки типа цепочки Тоды и анализ интегрируемости полученных конечномерных редукций.
Материалы и методы. Одним из признаков интегрируемости системы уравнений является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (L–A пара). Именно на этом свойстве интегрируемой дискретной системы основано построение граничных условий и интегралов движения полученных конечномерных редукций. В работе используются основные методы симметрийного подхода к исследованию интегрируемых систем. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результаты. Найдена новая конечномерная редукция дискретной цепочки типа цепочки Тоды, совместимая с L–A парой. Построены интегралы движения, определена дифференциально-разностная симметрия полученной конечномерной системы и показана ее интегрируемость в квадратурах. Представлены граничные условия, приводящие систему к одной из версий дискретного уравнения Пенлеве dPI.
Выводы. Простой и эффективный способ построения интегрируемых конечномерных редукций основан на совместимости граничных условий с L–A парой. Дискретные аналоги уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды. Для построения пары Лакса дискретного уравнения Пенлеве как конечномерной редукции интегрируемой цепочки типа цепочки Тоды необходимо дальнейшее изучение граничных условий совместимых с L–A парой.
|
|
Ключевые слова
|
дискретное уравнение, дифференциально-разностное уравнение, граничное условие, конечномерная редукция, интеграл движения, симметрия, уравнение Пенлеве.
|
| Список литературы |
1. Adler, V. E. On the structure of the Bäcklund transformations for the relativistic lattices / V.E. Adler // J. of Nonlinear Math. Phys. – 2000. – Vol. 7, № 1. – P. 34–56.
2. Habibullin, I. T. Boundary condition for integrable discrete chains / I. T. Habibullin, T. G. Kazakova // J. Phys. A: Math. and Gen. – 2001. – Vol. 34. – P. 10369–10376.
3. Казакова, Т. Г. Конечномерные редукции дискретных систем, интегрируемые в квадратурах / Т. Г. Казакова // Теоретическая и математическая физика. – 2004. – Т. 138, № 3. – С. 422–436.
4. Caudreliera, V. Integrable boundary for Quad-Graph systems: three-dimensional boundary consistency / V. Caudreliera, N. Crampéb, Q. C. Zhang // SIGMA. – 2014. – Vol. 10, № 014. – P. 24.
5. Kazakova, T. G. Finite-dimensional reductions of the discrete Toda chain / T. G. Kazakova // J. Phys. A: Math. and Gen. – 2004. – Vol. 37. – P. 8089–8112.
6. Ormerod, C. M. Discrete Painlevé equations and their Lax pairs as reductions of integrable lattice equations / C. M. Ormerod, H. Peter van der Kamp, G. R. Quispel // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. – 2013. – Vol. 46, № 9 – P. 23.
7. Hirota, R. Nonlinear partial difference equations. I − V / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. – 1977. – Vol. 43. – P. 1423–1433, 2074–2078, 2079–2086.
8. Suris, Yu. B. Discrete time Toda systems / Yu. B. Suris // J. Phys. A: Mathematical and Theoretical. – 2018. – Vol. 51, № 33. – P. 60.
9. Адлер, В. Э. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости / В. Э. Адлер, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Теоретическая и математическая физика. – 2000. – Т. 125, № 3. – С. 355–424.
10. Шабат, А. Б. Симметрии нелинейных цепочек / А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Алгебра и анализ. – 1990. – Т. 2, №2. – С. 377–400.
11. Ramani, A. Discrete Painleve equations: coalescences, limits and degeneracies / A. Ramani, B. Grammaticos // Phys. A. – 1996. – Vol. 228, № 1 – 4. – P. 160–171.
|
